Procedimentos de Distribuição de Ações Móveis em Pontes de Múltiplas Longarinas

RESUMO:

As pontes são componentes importantes nos sistemas rodoviário e ferroviário de um país e são construções utilizadas para o seu crescimento econômico e social. Assim, pode-se entender porque essas Obras de Artes Especiais se destacam no Brasil, onde esses modais são relevantes para o seu desenvolvimento. Dessa forma, entende-se a importância do estudo dos sistemas estruturais de pontes com múltiplas longarinas, pois o uso desse tipo de sistema tem ganhado destaque nos dias atuais quando comparados a outros modelos estruturais. Portanto, este trabalho analisou pontes hiperestáticas na transversal com múltiplas longarinas, tendo base alguns modelos já existentes: Vigas Independentes e Engesser-Courbon. Diante disso, os métodos analíticos possuem algumas limitações relacionadas a rigidez à torção, mas ainda são modelos viáveis para os cálculos estruturais, devido sua simplicidade e objetividade. Com esta pesquisa foi possível calcular os esforços resultantes de cada método, que foram comparados para a conclusão da melhor alternativa de cálculo, de acordo com a facilidade e economia. De acordo com os resultados obtidos, foram encontrados valores de esforços 78% superiores no modelo de Vigas Independentes em relação ao modelo de Engesser-Courbon.

1 INTRODUÇÃO

As pontes são definidas pela ABNT NBR 7188:2013 como estruturas sujeitas a ação de carga em movimento, com posicionamento variável, utilizadas para transpor um obstáculo natural como rios, córregos e vales. Elas são conhecidas como Obras de Arte Especiais e são importantes obras para a o desenvolvimento econômico e social de um país.
O Brasil é uma nação com grandes extensões territoriais, com diversos relevos e abastada em recursos hídricos, possuindo assim uma ampla malha rodoviária. Nesse contexto, pode-se entender a relevância da construção de pontes no território brasileiro. Elas são capazes de ligar lugares de difícil acesso e promover uma melhor comunicação entre cidades, estados e países.
Segundo Stucchi (2006), o projeto de uma ponte ou grande estrutura é o resultado de um método criativo constituído de uma série de escolhas que visam uma boa solução para ser construída. Esse método parte das condições locais onde será realizada a obra (clima, topografia, geologia etc.), assim, são analisados os materiais e as técnicas que são disponibilizadas na região, os métodos de cálculo conhecidos e os tipos estruturais. É necessário que a obra atenda às funções pré-definidas, colocando em prática o projeto e buscando atingir uma empreitada segura, econômica e estética.
O sistema estrutural conhecido como ponte de tabuleiros com vigas múltiplas vem sido bastante utilizado quando comparado aos diversos tipos estruturais existentes na atualidade. A análise e estudo desse tipo de sistema têm como objetivo dimensionar os componentes da superestrutura. As normas em vigência não determinam qual modelo de cálculo deve ser seguido nesse tipo de obra, por isso, devido ao grau de hiperestaticidade desse tipo de estrutura, há uma motivação para o estudo e aperfeiçoamento dos métodos simplificados que existem na literatura.
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Dessa forma, este trabalho propôs a realização de uma análise de um tabuleiro de uma ponte com múltiplas longarinas, através de métodos simplificados que não necessitem de auxílio de modelagens numéricas mais complexas, como por exemplo o Método dos Elementos Finitos. Para isso foram comparados dois métodos analíticos: processo de vigas independentes e processo de Engesser-Coubon.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

As pontes podem ser divididas em três partes principais: infraestrutura, mesoestrutura e superestrutura.
Segundo Pfeil (1990), a infraestrutura é o elemento da ponte pelo qual são transmitidos os esforços recebidos da mesoestrutura ao terreno de implantação da obra, rocha ou solo. Constituem a infraestrutura os as estacas, sapatas, tubulões etc., assim como as peças de ligação de seus diversos elementos entre si, e destes com a mesoestrutura.
Pfeil (1990) descreve a mesoestrutura como o componente que recebe os esforços da superestrutura e os transmite à infraestrutura, em conjunto com os esforços recebidos diretamente de outras forças solicitantes da ponte, tais como pressões do vento e da água em movimento. O autor também define a superestrutura como o elemento de suporte imediato do estrado, composta de lajes, que constitui a parte útil da obra, sob ponto de vista de sua finalidade. A figura 1 mostra a visão geral de uma ponte, apontando os principais elementos constituintes.

Os encontros são considerados como elementos situados na transição da ponte com o aterro da via, cuja função principal é receber o empuxo dos aterros de acesso e controlar sua transmissão para o restante dos elementos da estrutura. A figura 2 representa um viaduto sem a presença de encontros.

2.1 Modelos de cálculos

Para Khalil El Debs e Takeya (2009), ao analisar um tabuleiro de uma ponte de vigas múltiplas, três elementos são definidos: as longarinas (também chamadas de vigas principais ou longitudinais), transversinas (também chamadas de vigas transversais) e a laje. O cálculo exato desse conjunto monolítico é complexo e quase impossível de ser realizado manualmente, ou seja, sem o auxílio de programas e computadores. Dessa forma, recorre-se a processos simplificados, que buscam encontrar resultados aproximados com a realidade através de cálculos simples que não necessitam de auxílios computacionais.
Segundo os autores, a metodologia aplicada na maior parte dos processos aproximados é determinada como “método dos coeficientes de repartição”, que define a distribuição do carregamento aplicado entre os componentes que constituem o tabuleiro de uma ponte.
Uma vez conhecida a parcela do carregamento que cabe a cada elemento, chamada também de “quinhão de carga”, faz-se o cálculo de cada elemento isoladamente com o correspondente quinhão de carga.
Khalil El Debs e Takeya (2009) explicam que os processos aproximados podem ser classificados em três classes: processo que considera as longarinas independentes; processo que considera o chamado efeito de grelha; processo que supõe que o tabuleiro é uma placa ortotrópica,
De acordo com Khalil El Debs e Takeya (2009), o processo que considera as longarinas independentes não é considerado satisfatório quando utilizado para tabuleiros com mais de duas longarinas, pois a sua aproximação passa a ser grosseira. Dessa forma, surgem outros processos como alternativas, como aqueles que consideram o efeito de grelha (Engesser-Courbon e Leonhardt).

2.2 Vigas Independentes

Conforme El Debs e Takeya (2009), o processo de viga independentes deve determinar primeiro qual o quinhão dessas cargas que é suportado pelas vigas principais, ou seja, há que determinar, para cada viga, um conjunto de cargas simuladas as quais, prevista atuando diretamente
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sobre cada uma das vigas, originam nestas os mesmos esforços que testam as cargas reais dispostas sobre o tabuleiro. Por esse motivo o conjunto de cargas simuladas é denominado trem-tipo da viga. Existirá em geral, um trem-tipo para cada viga principal (ou apenas dois: um para as duas vigas laterais e outro para as internas). Caso exista apenas duas vigas principais supõe-se que o tabuleiro, para efeito de distribuição das cargas às duas vigas, se admita como uma viga transversal (geralmente com balanços) simplesmente apoiada sobre as vigas longitudinais, como mostra a figura 3.

Os autores afirmam que isto condiz a admitir para o quinhão P1 da viga 1 uma linha de influência retilínea, de tal forma que a carga P igual a 1 aplicada sobre a viga 1 corresponda, na própria viga 1, um quinhão igual à própria carga e, a carga P igual a 1 aplicada sobre a viga 2, ainda na viga 1, um quinhão nulo, como indica a figura 4.

Considerando que uma ponte com duas vigas principais contínuas em três vãos na longitudinal, carregada por uma carga P disposta à distância a da viga 1 (Figura 5), e à distância x de um dos apoios. Tudo se passa como se a viga 1 estivesse sujeita a uma carga P1, disposta à mesma distância x do apoio e, portanto, como se a viga 2 estivesse suportando o quinhão P2=P-P1, situado ainda à distância x do apoio considerado (Figura 5)

Segundo El Debs e Takeya (2009), admitindo agora uma ponte, com estrutura principal composta por duas vigas que, por exemplo, sejam simplesmente apoiadas (Figura 6), o carregamento normal da ponte será composto de um veículo e de uma carga distribuída de “multidão”, posta ao lado, adiante e atrás do veículo.
Para o cálculo de cada uma das vigas deve-se admitir os quinhões de carga que são suportados pelas vigas, ou seja, deve-se determinar o trem-tipo das vigas principais. Por meio da linha de influência, deduz-se que tudo se passa como se atuassem, diretamente sobre a viga 1, as cargas indicadas na Figura 6 com a designação trem-tipo da viga 1. Com esse trem-tipo calculam-se então os momentos fletores e as forças cortantes em qualquer seção da viga em estudo, mediante as respectivas linhas de influência.

Quando existem mais do que duas vigas principais, a antiga norma NB 2/1961 recomendava o cálculo da superestrutura como grelha, porém em fase de pré-dimensionamento é comum o cálculo ainda admitindo que as vigas sejam independentes. Supõe-se então, como mostra a Figura 12, que o tabuleiro distribua as cargas para as vigas longitudinais como se sobre estas houvesse, em toda a extensão da ponte, transversinas simplesmente apoiadas. Desta forma, para o cálculo da viga 1 interessam apenas as cargas colocadas entre (1) e (2); no cálculo da viga 2, intervêm apenas as cargas que atuam entre (1) e (3), e assim por diante. (EL DEBS e TAKEYA, 2009).
vigas independentes, observando os resultados experimentais da figura 13, cuja legenda os esclarece. Note-se que não há transversinas nos tramos, mas apenas nos apoios.

2.3 Engesser-Courbon

O processo caracterizado como de Engesser-Courbon, é atribuído a F. Engesser, e foi Desenvolvido por J. Courbon e M. Mallet. Neste processo, que se caracteriza pela sua simplicidade e campo de aplicação, são adotadas as seguintes hipóteses simplificadoras: o tabuleiro monolítico é transformado numa malha de vigas longitudinais e transversais; é desprezado o efeito de torção nas vigas; a transversina é suposta como tendo rigidez infinita. (Khalil El Debs e Takeya, 2009).Segundo Quiroga (1983), o método de Courbon também é chamado reparto rígido, consiste o caso extremo de distribuição de cargas entre as vigas. Em efeito, a rigidez transversal pode variar entre os valores limites:
a) Nulas, se as vigas se colocam uma ao lado de outras, sem nenhum tipo de conexão entre elas;
b) Infinita, no caso de existência de vigas transversais muito perto entre si ou, em geral, se a seção pode considerar transversalmente rígida;
c) Desprezam-se os efeitos de torção.

Na primeira situação, a carga atuante sobre uma viga é tolerada unicamente por esta, sem colaboração das vizinhas. No caso de placa com rigidez transversal infinita, percorre-la deformada sob a ação de uma carga que se conserva reta, sem inflexões nem curvaturas de nenhum tipo. Essa prática foi estudada por Courbon em um de seus métodos de cálculo.

Ainda segundo Quiroga (1983), supõe-se, por facilidade, que a placa é simétrica, caso mais frequente da prática, e se aplicou para outras situações diretas. A carga atuante se decompõe em simétrica e assimétrica. A primeira parte da carga se reparte proporcionalmente e as inércias das vigas, já que supõe a ponte reta e as luzes de todas elas iguais, como tem a mesma seta. Então, têm-se que a carga P’n que atua sobre a viga n é:
𝑃′𝑛 = 𝑃 𝐼𝑛Σ𝐼𝑛
(1)
(sendo In, a inércia de a viga n-ésima).
No caso antimétrico, há apenas uma rotação da placa, sem declínio do ponto central. Logo, a força é proporcional à distância xn, da viga ao ponto central “0”,”y”, na sua vez, a carga que suporta cada viga é proporcional a força y na inércia da viga. Pode-se escrever, como segue, para a carga na viga n:
𝑃”𝑛=𝑘 𝑥𝑛 𝐼𝑛
(2)
Atuando equilíbrio de momentos, em respeito a 0, de todas as forças atuantes sobre a placa, percebe-se:

A carga sobre a viga n-sima vale:
..”..=…. …. ….ƒ°….2 ….
(5)
Por fim, a carga total que suporta cada viga e:
….= ..Œ..+ ..”..=……ƒ°…. (1+.. …. ƒ°….ƒ°….2 ….)
(6)
Checa-se a igualdade de forca vertical:
ƒ°….=..
(7)
Logo, os coeficientes de reparticao transversal das cargas, isto e, a fracao da carga que se conduz cada viga, tem como valores:
….ƒ°…. (1+.. …. ƒ°….ƒ°….2 ….)
(8)
Se todas as vigas sao iguais, e seu numero e N, o coeficiente de reparticao anterior para a viga n, e:
…. (1+ .. …. . ..ƒ°….2)
(9)
Nessas expressoes a distancia Xn tem um sinal, positivo se a viga esta ao mesmo lado que a carga do centro da placa, e, negativo, em caso contrario. A solucao do problema consiste em se determinar os valores de Ri, a partir do equilibrio do conjunto. Assim, uma vez equacionados os valores de gah e gbh, obtem-se:
….=….[1+62….(..+1)..2.1….]
(10)
Que e a expressao geral para uma reacao R1, relativa ao apoio composto por uma longarina generica i, sendo (i = l,c,n) e considerando-se as longarinas identicas e igualmente espacadas entre si.
Onde:
P . Carga atuante na transversina;
n . numero total de longarinas;
i . longarina generica;
e . abscissa do ponto de aplicacao da carga P;
. . Espacamento entre as longarinas.
Assim, a totalidade da carga P e absorvida pelas longarinas (como se nao houvesse transversinas no tabuleiro) segundo um coeficiente de reparticao transversal rie dado por:
……=1..[1+62….(..+1)..2.1….]
(11)
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Depois de descobrir os coeficientes rie, fica possivel obter as solicitacoes e reacoes de apoio nas longarinas por meio do carregamento das linhas de influencia de reacao rie (na transversal) e, seguidamente, do carregamento das linhas de influencia das longarinas na direcao longitudinal. Este metodo tambem permite o estudo de casos mais gerais, onde as longarinas sao diferentes (em inercia) e diferentemente espacadas.

3 METODOLOGIA

Essa pesquisa abordou os métodos de cálculo estrutural de pontes propostos na fundamentação teórica: Vigas Independentes e Engesser-Courbon. Cada modelo foi analisado detalhadamente, em seguida eles foram aplicados nos seguintes estudos de caso:
 Ponte composta por uma superestrutura de três longarinas, três transversinas de apoio, duas transversinas intermediárias e duas transversinas de extremidade (Figura 19).

 Ponte composta por uma superestrutura de cinco longarinas, três transversinas de apoio, duas transversinas intermediárias e duas transversinas de extremidade (Figura 20).

 Ponte composta por uma superestrutura de sete longarinas, três transversinas de apoio, duas transversinas intermediárias e duas transversinas de extremidade (Figura 12).

As pontes estudadas possuem um vão de 20 metros, como mostra a figura 13.

A seguir serão apresentados os cálculos realizados para a ponte com três longarinas através dos dois métodos que estão sendo expostos na pesquisa. A carga móvel rodoviária padrão empregada no trabalho é a TB450, que é definida por um trem tipo de 450 kN, com seis rodas, P=75 kN, três eixos de cargas afastados entre si em 1,5 m, com área de ocupação de 18,0 m2, circundada por uma carga uniformemente distribuída constante p=5 kN/m2, conforme a figura 14 representa.

3.1 Vigas Independentes

 Para a longarina 1:

Carga de eixo e de Multidão interna
𝑉1=Σpi∗ɳi + p∗Ω (12)
𝑉1= (1,43∗75 + 0,88∗75) + (1,1494∗5) (13)
𝑉1 = 173,30 kN + 5,747 kN/m (14)
Carga multidão externa
𝑉1= 5∗3,8599 = 19,30 kN/m (15)

 Para a longarina 2:

Carga de eixo e de Multidão interna
𝑉2= (0,8545∗75 + 0,8545∗75) +
(2,388∗5)
(16)
𝑉2 = 128,20 kN + 11,94 kN/m (17)
Carga multidão externa
𝑉2= 5∗5,0614 = 25,31 kN/m (18)

 Para a longarina 3:

Carga de eixo e de Multidão interna
𝑉3= (1,43∗75 + 0,88∗75) + (1,1494∗5) (19)
𝑉3 = 173,30 kN + 5,747 kN/m (20)
Carga multidão externa
𝑉3= 5∗3,8599 = 19,30 kN/m (21)
Em anexo temos Momentos calculados pelo método
de Courbon e Vigas Independentes em uma ponte de
três longarinas.

3.2 Engesser-Courbon

Para a longarina 1:

Para e=-4,50 m:
r1,−4,5 =
1
3
[1 + 6 ∗
2 ∗ 1 − 3 − 1
32 − 1
∗
−4,50
4,50
] =
5
6
(22)
Para e= 0 m:
r1,0 =
1
3
[1 + 6 ∗
2 ∗ 1 − 3 − 1
32 − 1
∗
0
4,50
] =
1
3
(23)
Para e=+4,50 m:
r1,4,50 =
1
3
[1 + 6 ∗
2 ∗ 1 − 3 − 1
32 − 1
∗
4,50
4,50
] = −
1
6
(24)

Carga de eixo e de Multidão interna
𝑉2= (0,83∗75 + 0,61∗75) + ((1,39-
0,13)∗5)
(25)
𝑉2 = 108,30 kN + 6,32 kN/m (26)
Carga multidão externa
𝑉2= 5∗(3,1250-0,1250) = 15,00 kN/m (27)

 A Linha de influência para a longarina 2:

Para e=-4,50 m:
r2,−4,5 =
1
3
[1 + 6 ∗
2 ∗ 2 − 3 − 1
32 − 1
∗
−4,50
4,50
] =
1
3
(28)
Para e= 0 m:
r2,0 =
1
3
[1 + 6 ∗
2 ∗ 2 − 3 − 1
32 − 1
∗
0
4,50
] =
1
3
(29)
Para e=+4,50 m:
r2,4,50 =
1
3
[1 + 6 ∗
2 ∗ 2 − 3 − 1
32 − 1
∗
4,50
4,50
] =
1
3
(30)

Carga de eixo e de Multidão interna
𝑉2= (0, 333 ∗75 + 0,333∗75) + (2,167∗5) (31)
𝑉2 = 50,00 kN + 10,83 kN/m (32)
Carga multidão externa
𝑉2= 5∗ 3,00 = 15,00 kN/m (33)

 A Linha de influência para a longarina 3:

Para e=-4,50 m:
r3,−4,5 =
1
3
[1 + 6 ∗
2 ∗ 3 − 3 − 1
32 − 1
∗
−4,50
4,50
]
= −
1
6
(34)
Para e= 0 m:
r3,0 =
1
3
[1 + 6 ∗
2 ∗ 3 − 3 − 1
32 − 1
∗
0
4,50
] =
1
3
(35)
Para e=+4,50 m:
r3,4,50 =
1
3
[1 + 6 ∗
2 ∗ 3 − 3 − 1
32 − 1
∗
4,50
4,50
] =
5
6
(36)

Carga de eixo e de Multidão interna
𝑉2= (0,833∗75 + 0,611∗75) + ((1,389-
0,125)∗5)
(37)
𝑉2 = 108,30 kN + 6,32 kN/m (38)
Carga multidão externa
𝑉2= 5∗(3,1250-0,1250) = 15,00 kN/m (39)
Posteriormente, os esforços resultantes de cada método
foram comparados para a conclusão da melhor
alternativa de cálculo, de acordo com a facilidade e
economia.

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO

A tabela 1 apresenta os resultados das cargas móveis
que atuam sobre a ponte de três longarinas. P1
representa a carga de eixo, p1 a carga de multidão
interna e p2 a carga de multidão externa.

A tabela 2 apresenta os resultados das cargas móveis
que atuam sobre a ponte de cinco longarinas.

A tabela 3 apresenta os resultados das cargas móveis
que atuam sobre a ponte de sete longarinas.

A Tabela 4 apresenta resultados dos momentos
máximos característicos e esforços cortantes acidentais
característicos da viga analisada. Os valores calculados
com o modelo de Courbon foramde 49 a 67% menores
do que os calculados pelo método de vigas
independentes. As figuras 27 e 28 apresentam gráficos
comparativos dos dois métodos apresentados nesta
pesquisa, em cada longarina presente na ponte.

Na Tabela 5 os valores de esforços calculados com o
modelo de Courbon foram de 51 a 78% menores dos
que os esforços calculados pelo método de vigas
independentes. Pode-se observar esta comparação
quando se analisa as figuras 29 e 30, que apresentam
gráficos demonstrativos dos resultados de esforços que
atuam em cada longarina da ponte com cinco vigas.

A Tabela 6 apresenta os valores de esforços calculados
para uma ponte com cinco longarina. Com o modelo de
Courbon foram obtidos valores de 37 a 69% menores
dos que os esforços calculados pelo método de vigas
independentes. As figuras 31 e 32 apresentam os
esforços cortantes e momentos que atuam em cada
longarina, baseado em cada método de cálculo.

5 CONCLUSÕES

Os modelos propostos nesta pesquisa apresentaram resultados de repartição de carga com diferenças significativas. Assim, numa análise mais específica, constata-se que o modelo de Vigas Independentes apresentou resultados menos precisos para o cálculo de pontes com múltiplas longarinas. Segundo El Debs e Takeya (2009) o modelo de Vigas Independentes não é recomendado para diversas longarinas, mas sim para pontes com duas vigas. Os autores recomendam esse tipo de modelos de grelha, no qual o modelo de Engesser-Courbon se enquadra. Logo, o modelo de Engesser-Courbon detém melhor viabilidade econômica, por apresentar momentos e esforços inferiores quando comparados ao primeiro método, chegando a diferença de 78% em relação ao esforço encontrado pelo modelo de Vigas Independentes.
É importante lembrar que a quantidade de longarinas também é um fator importante na distribuição de cargas, visto que ao aumentarmos o número de vigas principais e incluindo o efeito de torção nas mesmas, obtém-se uma melhor repartição de cargas, sobretudo nas vigas externas, que implicarão em redução de esforços nas mesmas.

6 AGRADECIMENTOS

Agradecemos primeiramente à Deus, pois sem Ele nada seria possível. Não podemos esquecer da nossa família e amigos, que nos apoiaram em todos momentos. Ao nosso orientador Rodrigo Carvalho da Mata, por sua dedicação e confiança em nosso trabalho, e à banca por disponibilizar seu tempo para analisar nosso trabalho. Os autores gostariam de agradecer também ao Prof. Tércio Pereira Jovem da UFRN pelo apoio dado durante a realização do trabalho.

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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EL DEBS, M.K.; TAKEYA, T. Introdução às pontes de concreto. São Carlos: EESCUSP, 2009. (Notas de aula).

FROTA, L.E.C. Estudo Comparativo entre o Método de Courbon e Modelos Computacionais para Análise de Tabuleiros de Pontes. Universidade de Brasília, Brasília, 2014.

JOVEM, T.P. Estudo Analítico e Numérico de Repartição de Carga em Tabuleiros de Pontes Retas Ortogonais com Longarinas Principais Múltiplas de Concreto Armado. Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2016.

JOVEM, T. P.; REBOUÇAS, A. S; FILHO, J. N.; DIÓGENES, H. J. F.; MATA, R. C. Análise Comparativa da Distribuição de Carga em Pontes Hiperestáticas de Concreto Armado com Múltiplas Longarinas por Meio de Modelos Analíticos Clássicos e do Método do Elementos Finitos. IX Congresso Brasileiro de Pontes e Estruturas, Rio de Janeiro, Brasil. 2016.

LEONHARDT, F. Princípios Básicos da Construção de Pontes de Concreto. Editora Interciência Ltda. Rio de Janeiro, Brasil. 1979.

NETO, A. G. A. Método de Leonhardt. Notas de Aula. Universidade Presbiteriana Mackenzie. São Paulo, Brasil. 2015.

PFEIL, W. Pontes em Concreto Armado. Livro Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, 1990.

QUIROGA, A.F.S. Calculo de Estructuras de Puentes de Hormigon. 1. ed. Madri: Rueda, 1983.

STUCCHI, F. R. Pontes e grandes estruturas. São Paulo: Universidade de São Paulo, 2006.